Упр.15.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: верхние концы двух вертикально стоящих столбов высотой 5,8 м
и 3,9 м, удаленных на расстояние 3,4 м, соединены перекладиной;
Найти: длину перекладины;
Решение:
1) Обозначим данные столбы как отрезки AC и BD, точки C и D которых
принадлежат плоскости Альфа земной поверхности, тогда:
AC=5,8 м; BD=3,9 м; CD=3,4 м;
2) Так как столбы стоят вертикально, то AC перпендикулярен a и BD перпендикулярен a, следовательно:
AC перпендикулярен CD, BD перпендикулярен CD и AC||BD;
3) Значит прямые AC и BD и все их точки лежат в одной плоскости;
4) Четырехугольник ACDB является прямоугольной трапецией;
5) Опустим высоту BH на сторону AC, тогда:
CD перпендикулярен AC и BH перпендикулярен AC, значит BH||CD;
6) Четырехугольник ACDH-параллелограмм, значит:
BH=CD=3,4 м и HC=BD=3,9 м;
7) AH=AC-HC=5,8-3,9=1,9 м;
8) В прямоугольном треугольнике AHB, по теореме Пифагора:
AB=v(AH^2+BH^2 )=v(1,9^2+3,4^2 )=v(3,61+11,56)=v15,17=3,9 м;
Ответ: 3,9 м.

Подробный ответ

Обозначим верхние концы столбов через $$A$$ и $$B$$, а их основания — через $$C$$ и $$D$$. Тогда $$AC=5{,}8$$ м, $$BD=3{,}9$$ м, $$CD=3{,}4$$ м.

Так как столбы вертикальны, то $$AC \perp CD$$ и $$BD \perp CD$$, следовательно, $$AC \parallel BD$$. Значит, точки $$A, B, C, D$$ лежат в одной плоскости, а четырёхугольник $$ACDB$$ — прямоугольная трапеция.

Опустим из точки $$B$$ высоту $$BH$$ на прямую $$AC$$. Тогда $$BH \parallel CD$$, а четырёхугольник $$CDHB$$ — параллелограмм. Поэтому

$$BH=CD=3{,}4\text{ м}, \qquad HC=BD=3{,}9\text{ м}.$$

Найдём $$AH$$:

$$AH=AC-HC=5{,}8-3{,}9=1{,}9\text{ м}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AHB$$ по теореме Пифагора:

$$ AB=\sqrt{AH^2+BH^2} =\sqrt{1{,}9^2+3{,}4^2} =\sqrt{3{,}61+11{,}56} =\sqrt{15{,}17}\approx 3{,}9\text{ м}. $$