Вопрос 14 Параграф 5 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Объясните, как через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой. Построить: прямую, перпендикулярную данной прямой.
Пусть дана прямая $$a$$ и точка $$O$$.
Рассмотрим два случая.
Точка $$O$$ не лежит на прямой $$a$$.
Из точки $$O$$ проводим окружность произвольного радиуса. Она пересечёт прямую $$a$$ в точках $$A$$ и $$B$$.
Из точек $$A$$ и $$B$$ проводим окружности радиусами $$AO$$ и $$BO$$. Эти окружности пересекутся в точках $$O$$ и $$C$$.
Тогда прямая $$OC$$ пересекает прямую $$a$$ в точке $$D$$. В треугольнике $$ABO$$ имеем $$AO=BO$$, значит он равнобедренный. Так как $$D$$ — середина отрезка $$AB$$, то $$OD$$ — медиана равнобедренного треугольника, а значит, и высота.
Следовательно, $$OD \perp AB$$, то есть $$OC \perp a$$.
Точка $$O$$ лежит на прямой $$a$$.
Из точки $$O$$ проводим окружность произвольного радиуса. Она пересечёт прямую $$a$$ в точках $$A$$ и $$B$$.
Из точек $$A$$ и $$B$$ проводим окружности радиусом $$AB$$. Они пересекутся в точке $$C$$.
Рассмотрим треугольники $$ACO$$ и $$BCO$$. Имеем:
- $$AC=BC$$, так как это радиусы окружностей с центрами в $$A$$ и $$B$$;
- $$AO=BO$$, так как точки $$A$$ и $$B$$ лежат на окружности с центром в $$O$$;
- $$CO$$ — общая сторона.
Значит, $$\triangle ACO \cong \triangle BCO$$ по трём сторонам. Отсюда $$\angle AOC=\angle COB$$. Эти углы смежные, поэтому каждый из них равен $$90^\circ$$. Следовательно, $$OC \perp a$$.
Таким образом, через данную точку можно провести прямую, перпендикулярную данной прямой, с помощью построения окружностей.
