Упр.10.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

2) Докажите, что для любых векторов а и b имеет место неравенство |а + b| < |a| + |b|.

1) Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По правилу сложения векторов

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.$$

По неравенству треугольника для сторон треугольника $$ABC$$ имеем

$$AC<AB+BC.$$

Так как длина вектора равна длине соответствующего отрезка, то

$$|\overrightarrow{AC}|=AC,\quad |\overrightarrow{AB}|=AB,\quad |\overrightarrow{BC}|=BC.$$

Следовательно,

$$|\overrightarrow{AC}|<|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BC}|.$$

2) Пусть $$\vec a=\overrightarrow{AB}$$ и $$\vec b=\overrightarrow{BC}$$. Тогда по правилу треугольника

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec a+\vec b.$$

Из пункта 1 получаем

$$|\vec a+\vec b|=|\overrightarrow{AC}|<|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BC}|=|\vec a|+|\vec b|.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$|\overrightarrow{AC}|<|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BC}|,$$

$$|\vec a+\vec b|<|\vec a|+|\vec b|.$$