Вопрос 14 Параграф 8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 14. Дайте определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для любого угла от 0° до 180°.

Рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом $$R$$. Пусть луч, образующий угол $$\alpha$$ с положительным направлением оси $$x$$, пересекает окружность в точке $$A(x;y)$$.

Тогда по определению координат точки на окружности:

$$\cos \alpha=\frac{x}{R},\qquad \sin \alpha=\frac{y}{R},\qquad \tg \alpha=\frac{y}{x},\qquad \ctg \alpha=\frac{x}{y}.$$

Для угла $$90^\circ$$ точка $$A$$ лежит на положительной полуоси $$y$$, то есть $$A(0;R)$$. Поэтому

$$\sin 90^\circ=1,\qquad \cos 90^\circ=0,\qquad \ctg 90^\circ=0,$$

а $$\tg 90^\circ$$ не существует.

Для угла $$180^\circ$$ точка $$A$$ лежит на отрицательной полуоси $$x$$, то есть $$A(-R;0)$$. Поэтому

$$\sin 180^\circ=0,\qquad \cos 180^\circ=-1,\qquad \tg 180^\circ=0,$$

а $$\ctg 180^\circ$$ не существует.

Для угла $$0^\circ$$ луч совпадает с положительным направлением оси $$x$$, значит $$A(R;0)$$. Тогда

$$\sin 0^\circ=0,\qquad \cos 0^\circ=1,\qquad \tg 0^\circ=0,$$

а $$\ctg 0^\circ$$ не существует.

Ответ

$$\sin \alpha=\frac{y}{R},\quad \cos \alpha=\frac{x}{R},\quad \tg \alpha=\frac{y}{x},\quad \ctg \alpha=\frac{x}{y}.$$
При $$0^\circ,\ 90^\circ,\ 180^\circ$$ значения тригонометрических функций указаны выше.