Вопрос 14 Параграф 7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 14. Докажите, что sina и tga возрастают при возрастании острого угла a, a cosa и ctga убывают.

Пусть $$\alpha$$ и $$\beta$$ — острые углы, причём $$\alpha<\beta$$. Отложим их от одной и той же полупрямой $$AB$$ в одной полуплоскости. Через точку $$B$$ проведём прямую, перпендикулярную $$AB$$; она пересечёт стороны углов в точках $$C$$ и $$D$$.

Так как $$\alpha<\beta$$, то точка $$C$$ лежит между точками $$B$$ и $$D$$, значит, $$BC<BD$$. Тогда по свойству наклонных, проведённых из одной точки к прямой, получаем $$AC<AD$$.

Теперь

$$\cos\alpha=\frac{AB}{AC},\qquad \cos\beta=\frac{AB}{AD}.$$

Так как $$AC<AD$$, то

$$\cos\alpha>\cos\beta.$$

Следовательно, при возрастании острого угла косинус убывает.

Далее, для острого угла

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}.$$

Если $$\cos\alpha$$ убывает, то $$\sin\alpha$$ возрастает.

Наконец,

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.$$

Так как при возрастании $$\alpha$$ величина $$\sin\alpha$$ возрастает, а $$\cos\alpha$$ убывает, то $$\tg\alpha$$ возрастает, а $$\ctg\alpha$$ убывает.

Ответ

При возрастании острого угла $$\sin\alpha$$ и $$\tg\alpha$$ возрастают, а $$\cos\alpha$$ и $$\ctg\alpha$$ убывают.