Упр.15.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удалённых на расстояние $$3{,}4\ \text{м}$$, соединены перекладиной. Высота одного столба $$5{,}8\ \text{м}$$, а другого — $$3{,}9\ \text{м}$$. Найдите длину перекладины.

Подробный ответ

Обозначим столбы отрезками $$AC$$ и $$BD$$, где точки $$C$$ и $$D$$ лежат в плоскости $$\alpha$$ земной поверхности. Тогда

$$AC=5{,}8\text{ м},\quad BD=3{,}9\text{ м},\quad CD=3{,}4\text{ м}.$$

Так как столбы вертикальны, то $$AC\perp \alpha$$ и $$BD\perp \alpha$$, значит $$AC\perp CD$$, $$BD\perp CD$$ и $$AC\parallel BD$$. Следовательно, точки $$A, C, D, B$$ лежат в одной плоскости, а четырёхугольник $$ACDB$$ является прямоугольной трапецией.

Опустим из точки $$B$$ высоту $$BH$$ на прямую $$AC$$. Тогда $$BH\perp AC$$ и, поскольку $$CD\perp AC$$, получаем $$BH\parallel CD$$. Значит, четырёхугольник $$CDHB$$ — параллелограмм, откуда

$$BH=CD=3{,}4\text{ м},\quad HC=BD=3{,}9\text{ м}.$$

Тогда

$$AH=AC-HC=5{,}8-3{,}9=1{,}9\text{ м}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AHB$$ по теореме Пифагора:

$$AB=\sqrt{AH^2+BH^2} =\sqrt{1{,}9^2+3{,}4^2} =\sqrt{3{,}61+11{,}56} =\sqrt{15{,}17}\approx 3{,}9\text{ м}.$$

Ответ: $$3{,}9\text{ м}$$.