Упр.14.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите стороны ромба, зная, что его диагонали относятся как $$1:2$$, а площадь ромба равна $$12\ \text{см}^2$$.

Пусть $$ABCD$$ — данный ромб, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей.

По условию диагонали относятся как $$1:2$$, значит, если $$BD=x$$, то $$AC=2x$$.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

$$S=\frac12 \cdot AC \cdot BD=12.$$

Подставим $$AC=2x$$ и $$BD=x$$:

$$\frac12 \cdot 2x \cdot x=12,$$

$$x^2=12,$$

$$x=\sqrt{12}=2\sqrt3.$$

Тогда

$$BD=2\sqrt3\text{ см}, \qquad AC=4\sqrt3\text{ см}.$$

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому

$$BO=\frac{BD}{2}=\sqrt3,\qquad AO=\frac{AC}{2}=2\sqrt3.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOB$$ по теореме Пифагора:

$$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{(2\sqrt3)^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{12+3}=\sqrt{15}.$$

Ответ: $$\sqrt{15}\text{ см}.$$