Упр.13.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что взятые через одну вершины правильного $$2n$$-угольника являются вершинами правильного $$n$$-угольника.
Пусть $$A_1A_2A_3\dots A_{2n}$$ — правильный $$2n$$-угольник. Тогда все его стороны равны, а все внутренние углы равны.
Соединим через одну вершины: $$A_1A_3,\ A_3A_5,\ A_5A_7,\dots$$ Получим $$n$$-угольник.
Рассмотрим треугольники $$A_1A_2A_3$$, $$A_3A_4A_5$$ и $$A_5A_6A_7$$. Так как многоугольник правильный, то
$$A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5=A_5A_6=A_6A_7$$
и
$$\angle A_2=\angle A_4=\angle A_6.$$
Следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$A_1A_3=A_3A_5=A_5A_7.$$
Теперь сравним углы при вершинах $$A_3$$ и $$A_5$$ полученного $$n$$-угольника. Так как в правильном многоугольнике все углы равны, то
$$\angle A_2A_3A_4=\angle A_4A_5A_6.$$
Из равенства треугольников следует, что
$$\angle A_1A_3A_5=\angle A_3A_5A_7.$$
Аналогично доказывается, что все стороны полученного $$n$$-угольника равны и все его углы равны. Значит, этот многоугольник правильный.
Ответ: взятые через одну вершины правильного $$2n$$-угольника являются вершинами правильного $$n$$-угольника.
