Вопрос 14 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Сформулируйте и докажите свойство и признак описанного четырёхугольника.
В описанном четырёхугольнике суммы противолежащих сторон равны. Действительно, пусть окружность касается сторон четырёхугольника $$ABCD$$ в точках $$K, L, M, N$$. Тогда по свойству касательных, проведённых из одной точки, имеем:
$$AK=AN,\quad BK=BL,\quad CL=CM,\quad DM=DN.$$
Сложим равные отрезки:
$$(AK+KB)+(CM+MD)=(AN+ND)+(BL+LC).$$
Но $$AK+KB=AB$$, $$CM+MD=CD$$, $$AN+ND=AD$$, $$BL+LC=BC$$, значит
$$AB+CD=AD+BC.$$
Итак, в описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
Докажем обратное. Пусть у выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$ выполнено
$$AB+CD=BC+AD.$$
Рассмотрим случай, когда соседние стороны не равны. Пусть $$AB>BC$$, тогда из равенства следует $$AD>CD$$. Отложим на сторонах с общей вершиной $$A$$ отрезки $$BM=BC$$ и $$DN=CD$$. Тогда
$$AM=AB-BC,\qquad AN=AD-CD.$$
Из условия $$AB+CD=BC+AD$$ получаем
$$AB-BC=AD-CD,$$
следовательно,
$$AM=AN.$$
Значит, треугольник $$AMN$$ равнобедренный. Аналогично треугольники $$CBM$$ и $$CDN$$ тоже равнобедренные. В равнобедренных треугольниках медианы, проведённые к основаниям, являются одновременно высотами и биссектрисами. Поэтому прямые, содержащие эти медианы, являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника $$CMN$$ и пересекаются в одной точке $$O$$.
Те же медианы являются биссектрисами углов $$A$$, $$B$$ и $$D$$ четырёхугольника $$ABCD$$. Следовательно, точка $$O$$ равноудалена от всех его сторон, а значит, в четырёхугольник можно вписать окружность.
Таким образом, если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то он описан около окружности.
