Упр.11.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Пусть $$\triangle ABC$$ — прямоугольный, $$\angle C=90^\circ$$. Опустим из вершины $$C$$ высоту $$CH$$ на гипотенузу $$AB$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle AHC$$ и $$\triangle ABC$$. У них:

• $$\angle AHC=90^\circ=\angle C$$,
• $$\angle CAH=\angle CAB$$, так как точка $$H$$ лежит на прямой $$AB$$.

Следовательно, $$\triangle AHC \sim \triangle ABC$$ по двум углам.

Аналогично, для треугольников $$\triangle CHB$$ и $$\triangle ABC$$ имеем:

• $$\angle CHB=90^\circ=\angle C$$,
• $$\angle CBH=\angle CBA$$, так как точка $$H$$ лежит на прямой $$AB$$.

Значит, $$\triangle CHB \sim \triangle ABC$$ по двум углам.

Итак, высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику.