Упр.10.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что для векторов $$\overrightarrow{AB}$$, $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ имеет место неравенство $$|AC| < |AB| + |BC|$$.
- Докажите, что для любых векторов $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$ имеет место неравенство $$|\vec{a}+\vec{b}| < |\vec{a}|+|\vec{b}|$$.
1) По правилу сложения векторов для точек $$A, B, C$$ имеем
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.$$
Тогда длина вектора $$\overrightarrow{AC}$$ равна длине отрезка $$AC$$, а длины векторов $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$ равны длинам отрезков $$AB$$ и $$BC$$ соответственно. По неравенству треугольника для треугольника $$ABC$$ получаем
$$AC\leq AB+BC.$$
Следовательно,
$$\left|\overrightarrow{AC}\right|\leq \left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|.$$
2) Пусть $$\vec a=\overrightarrow{AB}$$ и $$\vec b=\overrightarrow{BC}$$. Тогда по правилу сложения векторов
$$\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b.$$
Из пункта 1 уже известно, что
$$\left|\overrightarrow{AC}\right|\leq \left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|.$$
Подставляя $$\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\vec a+\vec b\right|$$, $$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\vec a\right|$$ и $$\left|\overrightarrow{BC}\right|=\left|\vec b\right|$$, получаем
$$\left|\vec a+\vec b\right|\leq \left|\vec a\right|+\left|\vec b\right|.$$
Что и требовалось доказать.
