Вопрос 14 Параграф 10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: для получения суммы векторов a и b надо от конца вектора a
отложить вектор b’, равный вектору b, тогда вектор, начало которого
совпадет с началом вектора a, а конец-с концом вектора (b’), равен a+b;
Доказательство:
1) Пусть точка A-начало вектора a, а точка B-его конец;
2) Отложим от точки B вектор b’, равный вектору b;
3) Пусть точка C-конец вектора b’;
4) Таким образом, a=(AB) и b=b’=(BC);
5) Согласно теореме 10.1 для любых точек A, B и C справедливо равенство:
(AB)+(BC)=(AC), в нашем случае a+b=(AC), что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть точка $$A$$ — начало вектора $$\vec a$$, а точка $$B$$ — его конец. Отложим от точки $$B$$ вектор $$\vec b’$$, равный вектору $$\vec b$$, и обозначим его конец через $$C$$.

Тогда $$\vec a=\overrightarrow{AB}$$, а $$\vec b=\vec b’=\overrightarrow{BC}$$. По теореме о сложении векторов для любых точек $$A$$, $$B$$ и $$C$$ выполняется равенство

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.$$

Следовательно,

$$\vec a+\vec b=\overrightarrow{AC}.$$

Значит, чтобы получить сумму векторов $$\vec a$$ и $$\vec b$$, нужно от конца вектора $$\vec a$$ отложить вектор $$\vec b’$$, равный $$\vec b$$; тогда вектор, начало которого совпадает с началом $$\vec a$$, а конец — с концом $$\vec b’$$, и есть сумма $$\vec a+\vec b$$.