Вопрос 14 Параграф 9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что симметрия относительно прямой есть движение.

Пусть данная прямая является осью $$Oy$$ декартовой системы координат. Возьмём две произвольные точки $$A(x_1;y_1)$$ и $$B(x_2;y_2)$$. При симметрии относительно оси $$Oy$$ они перейдут в точки $$A'(-x_1;y_1)$$ и $$B'(-x_2;y_2)$$.

Найдём расстояния между соответствующими точками:

$$AB^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$$
$$A’B’^2=\bigl((-x_2)-(-x_1)\bigr)^2+(y_2-y_1)^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$$

Следовательно, $$AB=A’B’$$.

Значит, при симметрии относительно прямой расстояния между любыми двумя точками не изменяются. Поэтому симметрия относительно прямой является движением.