Упр.7.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Даны отрезки $$a$$ и $$b$$. Как построить отрезок: 1) $$\sqrt{a3+b2}$$; 2) $$\sqrt{a3-b}$$, $$a>b$$?
Пусть даны отрезки $$a$$ и $$b$$, а также единичный отрезок $$\delta$$, где $$\delta<a$$.
1) Построение отрезка $$\sqrt{a^3+b^2}$$
Сначала построим отрезок $$\sqrt{a^3}$$.
На одной стороне произвольного угла отложим $$OA_1=a$$, а на другой стороне — отрезки $$OA_2=a$$ и $$OO_1=\delta$$. Через точку $$A_2$$ проведём прямую, параллельную $$O_1A_1$$, и обозначим точку пересечения с первой стороной угла через $$Y$$.
По теореме о пропорциональных отрезках:
$$\frac{OA_1}{OO_1}=\frac{OY}{OA_2},$$
откуда
$$OY=\frac{OA_2\cdot OA_1}{OO_1}=\frac{a\cdot a}{\delta}=\frac{a^2}{\delta}.$$
Затем через точку $$Y$$ проведём прямую, параллельную $$O_1Y$$, и обозначим точку пересечения с первой стороной угла через $$Z$$. Тогда
$$\frac{OY}{OO_1}=\frac{OZ}{OA_2},$$
следовательно,
$$OZ=\frac{OY\cdot OA_2}{OO_1}=\frac{a^2}{\delta}\cdot \frac{a}{\delta}=\frac{a^3}{\delta^2}.$$
Теперь на прямой отложим последовательно отрезки $$AB=OZ$$ и $$BC=\delta$$. К прямой $$AC$$ построим перпендикуляр $$BD$$, пересекающий полуокружность с диаметром $$AC$$ в точке $$D$$.
Треугольник $$ADC$$ прямоугольный, так как угол $$D$$ опирается на диаметр окружности. Тогда высота $$BD$$, проведённая из вершины прямого угла, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу:
$$BD=\sqrt{AB\cdot BC}=\sqrt{\frac{a^3}{\delta^2}\cdot \delta}=\sqrt{\frac{a^3}{\delta}}.$$
Если взять $$\delta=1$$, получим $$BD=\sqrt{a^3}$$.
Теперь построим прямоугольный треугольник с катетами $$\sqrt{a^3}$$ и $$b$$. Его гипотенуза равна
$$\sqrt{(\sqrt{a^3})^2+b^2}=\sqrt{a^3+b^2}.$$
2) Построение отрезка $$\sqrt{a^3-b^2}$$, $$a>b$$
Сначала тем же способом строим отрезок $$\sqrt{a^3}$$.
Затем строим прямоугольный треугольник с гипотенузой $$\sqrt{a^3}$$ и катетом $$b$$. Тогда второй катет равен
$$\sqrt{(\sqrt{a^3})^2-b^2}=\sqrt{a^3-b^2}.$$
Искомый отрезок построен.
