Упр.15.13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: через точки A и B проведены прямые, перпендикулярные
плоскости Альфа, пересекающие ее в точках C и D соответственно;AC=3 м;
BD=2 м; CD=2,4 м; отрезок AB не пересекает плоскость Альфа;
Найти: длину отрезка AB;
Решение:
1) По условию AC перпендикулярен a и BD перпендикулярен a, следовательно:
AC перпендикулярен CD, BD перпендикулярен CD и AC||BD;
2) Значит, прямые AC и BD и все их точки лежат в одной плоскости;
3) Четырехугольник ACDB является прямоугольной трапецией;
4) Опустим высоту BH на сторону AC, тогда:
CD перпендикулярен AC и BH перпендикулярен AC, значит BH||CD;
5) Четырехугольник ACDH-параллелограмм, значит:
BH=CD=2,4 м и HC=BD=2 м;
6) AH=AC-HC=3-2=1 м;
7) В прямоугольном треугольнике AHB, по теореме Пифагора:
AB=v(AH^2+BH^2 )=v(1^2+2,4^2 )=v(1+5,76)=v6,76=2,6 м;
Ответ: 2,6 м.

Так как $$AC \perp \alpha$$ и $$BD \perp \alpha$$, то $$AC \perp CD$$ и $$BD \perp CD$$. Следовательно, прямые $$AC$$ и $$BD$$ параллельны.

Точки $$A, C, D, B$$ лежат в одной плоскости, а четырёхугольник $$ACDB$$ является прямоугольной трапецией.

Опустим из точки $$B$$ высоту $$BH$$ на прямую $$AC$$. Тогда $$BH \perp AC$$. Но и $$CD \perp AC$$, значит $$BH \parallel CD$$.

Четырёхугольник $$CDHB$$ — параллелограмм, поэтому

$$BH=CD=2{,}4\text{ м}, \qquad HC=BD=2\text{ м}.$$

Тогда

$$AH=AC-HC=3-2=1\text{ м}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AHB$$ по теореме Пифагора:

$$ AB=\sqrt{AH^2+BH^2} =\sqrt{1^2+2{,}4^2} =\sqrt{1+5{,}76} =\sqrt{6{,}76} =2{,}6\text{ м}. $$

Ответ

$$2{,}6\text{ м}$$