Вопрос 13 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом; диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Пусть $$ABCD$$ — ромб, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей.

Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, $$AO=OC$$ и $$BO=OD$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. В нём $$AB=BC$$, так как $$ABCD$$ — ромб. Следовательно, треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$. Отрезок $$BO$$, соединяющий вершину $$B$$ с серединой основания $$AC$$, является в равнобедренном треугольнике и медианой, и биссектрисой, и высотой.

Значит, $$BO \perp AC$$ и $$\angle ABO=\angle OBC$$.

Аналогично, рассматривая треугольник $$ADC$$, получаем, что $$DO$$ является биссектрисой угла $$D$$ и $$DO \perp AC$$.

Следовательно, диагонали ромба пересекаются под прямым углом, а каждая диагональ является биссектрисой углов ромба.