Упр.5.13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ лежат на прямой, а точка $$O$$ — вне прямой. Могут ли два треугольника $$AOB$$ и $$BOC$$ быть равнобедренными с основаниями $$AB$$ и $$BC$$? Обоснуйте ответ.
Могут ли окружность и прямая пересекаться более чем в двух точках?

Подробный ответ

1) Предположим, что треугольники $$AOB$$ и $$BOC$$ равнобедренные с основаниями $$AB$$ и $$BC$$. Тогда

$$AO=BO,\qquad BO=CO.$$

Следовательно, $$AO=BO=CO$$.

Из равнобедренности треугольника $$AOB$$ получаем:

$$\angle OAB=\angle OBA.$$

Из равнобедренности треугольника $$BOC$$ получаем:

$$\angle OBC=\angle OCB.$$

Так как точки $$A, B, C$$ лежат на одной прямой, то углы $$\angle OBA$$ и $$\angle OBC$$ смежные, значит

$$\angle OBA+\angle OBC=180^\circ.$$

Но $$\angle OBA=\angle OAB$$ и $$\angle OBC=\angle OCB$$, поэтому

$$\angle OAB+\angle OCB=180^\circ.$$

С другой стороны, из $$AO=CO$$ треугольник $$AOC$$ равнобедренный, значит

$$\angle OAC=\angle ACO.$$

Так как точки $$A, B, C$$ лежат на одной прямой, то $$\angle OAC=\angle OAB$$ и $$\angle ACO=\angle OCB$$, следовательно

$$\angle OAB=\angle OCB.$$

Тогда из равенства суммы этих углов $$180^\circ$$ получаем:

$$2\angle OAB=180^\circ,$$

откуда

$$\angle OAB=90^\circ.$$

Аналогично $$\angle OCB=90^\circ$$. Но тогда в треугольнике $$AOB$$ два угла прямые, что невозможно. Значит, такие треугольники не могут быть равнобедренными.

2) Окружность и прямая не могут пересекаться более чем в двух точках. Если бы прямая пересекала окружность в трёх точках $$A, B, C$$, то точки $$A, B, C$$ лежали бы на одной прямой, а отрезки $$OA, OB, OC$$ были бы равны радиусам. Тогда треугольники $$AOB$$ и $$BOC$$ оказались бы равнобедренными с основаниями $$AB$$ и $$BC$$, что противоречит пункту 1.

Ответ: 1) не могут; 2) не могут.