Вопрос 13 Параграф 7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 13. Чему равны значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30°, 45°, 60°?

Найдём значения тригонометрических функций для углов $$30^\circ$$, $$45^\circ$$ и $$60^\circ$$.

1) Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник с острыми углами по $$45^\circ$$. Пусть его катеты равны $$a$$. Тогда по теореме Пифагора гипотенуза равна

$$c=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$$

Следовательно,

$$\sin 45^\circ=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos 45^\circ=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},$$

$$\tg 45^\circ=\frac{a}{a}=1, \qquad \ctg 45^\circ=\frac{a}{a}=1.$$

2) Рассмотрим равносторонний треугольник и проведём в нём высоту. Она делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника с углами $$30^\circ$$, $$60^\circ$$ и $$90^\circ$$. Пусть сторона равностороннего треугольника равна $$a$$. Тогда гипотенуза равна $$a$$, один катет равен $$\frac{a}{2}$$, а второй катет:

$$\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Отсюда

$$\sin 30^\circ=\frac{1}{2}, \qquad \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},$$

$$\tg 30^\circ=\frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ}=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

$$\ctg 30^\circ=\sqrt{3}.$$

Так как $$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$$, а $$\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$$, получаем:

$$\sin 60^\circ=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos 60^\circ=\sin 30^\circ=\frac{1}{2},$$

$$\tg 60^\circ=\frac{1}{\tg 30^\circ}=\sqrt{3}, \qquad \ctg 60^\circ=\frac{1}{\tg 60^\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Ответ

$$\sin 30^\circ=\frac{1}{2}, \quad \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tg 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \ctg 30^\circ=\sqrt{3};$$

$$\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \tg 45^\circ=1, \quad \ctg 45^\circ=1;$$

$$\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60^\circ=\frac{1}{2}, \quad \tg 60^\circ=\sqrt{3}, \quad \ctg 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$