Вопрос 13 Параграф 5 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Построить: середину данного отрезка;
Построение:
1) Пусть дан отрезок AB, построим его середину-точку O:
2) Из точек A и B описываем окружности с радиусом AB, на их
пересечениях отметим точки C и C1;
3) Точки C и C1 лежат в разных полуплоскостях относительно
прямой AB, значит отрезок CC1 пересекает прямую AB в некоторой
точке O;
4) Точка O середина отрезка AB построена.
5) Треугольники CAC1 и CBC1 равны по третьему признаку, отсюда
угол ACO = углу BCO;
6) Треугольники ACO и BCO равны по первому признаку, отсюда
AO=BO, то есть точка O-середина отрезка B;

Пусть дан отрезок $$AB$$. Построим его середину.

1) Из точек $$A$$ и $$B$$ проведём окружности одинакового радиуса $$AB$$. Они пересекутся в точках $$C$$ и $$C_1$$, лежащих по разные стороны от прямой $$AB$$.

2) Соединим точки $$C$$ и $$C_1$$. Пусть прямая $$CC_1$$ пересекает прямую $$AB$$ в точке $$O$$.

3) Рассмотрим треугольники $$CAC_1$$ и $$CBC_1$$. У них:

• $$CA=CB$$, так как это радиусы окружности с центром в $$A$$ и $$B$$ соответственно;
• $$C_1A=C_1B$$, по той же причине;
• $$CC_1$$ — общая сторона.

Следовательно, $$\triangle CAC_1 \cong \triangle CBC_1$$ по трём сторонам, значит

$$\angle ACO=\angle BCO.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ACO$$ и $$BCO$$. У них:

• $$CA=CB$$;
• $$CO$$ — общая сторона;
• $$\angle ACO=\angle BCO.$$

Значит, $$\triangle ACO \cong \triangle BCO$$ по первому признаку равенства треугольников. Отсюда

$$AO=BO.$$

Следовательно, точка $$O$$ — середина отрезка $$AB$$.

Ответ

Чтобы разделить отрезок пополам, нужно из его концов описать равные окружности с радиусом $$AB$$, соединить точки их пересечения и найти точку пересечения этой прямой с отрезком $$AB$$. Эта точка и будет серединой отрезка.