Вопрос 13 Параграф 4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 13. Докажите, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Пусть у треугольника $$ABC$$ внешний угол при вершине $$B$$ — это угол $$CBD$$.

Так как углы $$CBA$$ и $$CBD$$ смежные, то

$$\angle CBA+\angle CBD=180^\circ,$$

откуда

$$\angle CBD=180^\circ-\angle CBA.$$

Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle CAB+\angle ACB+\angle CBA=180^\circ,$$

следовательно,

$$\angle CBA=180^\circ-(\angle CAB+\angle ACB).$$

Подставим это в выражение для внешнего угла:

$$\angle CBD=180^\circ-\bigl(180^\circ-(\angle CAB+\angle ACB)\bigr)=\angle CAB+\angle ACB.$$

Так как каждый из углов $$\angle CAB$$ и $$\angle ACB$$ положителен, то

$$\angle CBD>\angle CAB,\qquad \angle CBD>\angle ACB.$$

Значит, внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Ответ

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних несмежных углов, поэтому он больше каждого из них.