Упр.14.13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

Пусть $$ABCD$$ — данный ромб, $$BD=d_1$$, $$AC=d_2$$, а $$O$$ — точка пересечения диагоналей.

По свойствам ромба его диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам, значит

$$AC \perp BD,\qquad AO=OC=\frac{d_2}{2}.$$

Площадь ромба равна сумме площадей треугольников $$ABD$$ и $$BCD$$:

$$S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}.$$

Треугольники $$ABD$$ и $$BCD$$ равны по третьему признаку, так как

$$AB=BC,\quad AD=CD,\quad BD$$ — общая сторона.

Следовательно, их площади равны, и тогда

$$S_{ABCD}=2S_{ABD}.$$

Найдём площадь треугольника $$ABD$$. Его основание $$BD=d_1$$, а высота, опущенная из точки $$A$$ на $$BD$$, равна $$AO=\dfrac{d_2}{2}$$, так как $$AC \perp BD$$.

Тогда

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot BD \cdot AO =\frac{1}{2}\cdot d_1 \cdot \frac{d_2}{2}.$$

Следовательно,

$$S_{ABCD}=2S_{ABD} =2\cdot \frac{1}{2}\cdot d_1 \cdot \frac{d_2}{2} =\frac{1}{2}d_1d_2.$$

Итак, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Ответ: $$S=\frac{1}{2}d_1d_2.$$