Вопрос 13 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Сформулируйте и докажите свойство и признак вписанного четырёхугольника.
Если четырёхугольник вписан в окружность, то его противолежащие углы дополняют друг друга до $$180^\circ$$.
Действительно, пусть четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность. Тогда углы $$\angle A$$ и $$\angle C$$ являются вписанными и опираются на дуги, сумма которых равна полной окружности, то есть $$360^\circ$$. Поэтому
$$\angle A+\angle C=\frac{1}{2}\cdot 360^\circ=180^\circ.$$
Аналогично
$$\angle B+\angle D=180^\circ.$$
Следовательно, у вписанного четырёхугольника сумма противолежащих углов равна $$180^\circ$$.
Обратно, пусть у выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$ выполнено
$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$
Опишем окружность около треугольника $$ABD$$. Тогда точка $$C$$ должна лежать на этой окружности, так как угол $$\angle ACD$$, опирающийся на хорду $$AD$$, равен
$$180^\circ-\angle A=\angle C.$$
Значит, точка $$C$$ принадлежит окружности, описанной около треугольника $$ABD$$, и четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность.
Итак, свойство и признак вписанного четырёхугольника сформулированы и доказаны.
