Вопрос 13 Параграф 4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ при вершине $$B$$ проведён внешний угол $$\angle CBD$$.

Так как углы $$\angle CBA$$ и $$\angle CBD$$ смежные, то

$$\angle CBA+\angle CBD=180^\circ,$$

откуда

$$\angle CBD=180^\circ-\angle CBA.$$

Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle CAB+\angle ABC+\angle ACB=180^\circ.$$

Так как $$\angle ABC=\angle CBA$$, получаем

$$\angle CAB+\angle ACB+\angle CBA=180^\circ,$$

следовательно,

$$180^\circ-\angle CBA=\angle CAB+\angle ACB.$$

Тогда

$$\angle CBD=\angle CAB+\angle ACB.$$

Поскольку сумма двух положительных углов больше каждого из них, то

$$\angle CBD>\angle CAB,\qquad \angle CBD>\angle ACB.$$

Значит, внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.