Вопрос 13 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

I) Свойство и признак вписанного четырехугольника:
У четырехугольника, вписанного в окружность, сумма противолежащих
углов равна 180°; и наоборот: если у четырехугольника сумма проти-
волежащих углов равна 180°, то около него можно описать окружность;
II) Отобразим условие задачи:
Доказать: свойство и признак вписанного четырехугольника;
Доказательство:
1) Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O, а
A и C-его произвольные углы;
2) Вершины A и C четырехугольника ABCD лежат по разные стороны от
прямой BD, значит он выпуклый;
3) Угол BCD по свойству вписанных углов равен половине соответству-
ющего центрального угла, дуга которого содержит вершину A, а угол BAD
равен половине соответствующего дополнительного центрального угла,
дуга которого содержит вершину C;
4) Сумма дополнительных плоских углов равна 360°, значит:
угол A + угол C=1/2•360°=180°;
5) Сумма углов B и D также равна 180°, так как сумма всех углов
четырехугольника равна 360°;
6) Таким образом угол A+ угол C = углу B+ угол D=180° , следовательно свойство
вписанного четырехугольника доказано.
7) Обратно: пусть у данного выпуклого четырехугольника ABCD сумма
противолежащих углов A и C равна 180°;
8) Опишем вокруг треугольника ABD окружность;
9) Вершины A и C лежат по разные стороны от прямой BD, потому что
по условию теоремы он выпуклый;
10) По доказанному градусная мера любого вписанного угла, стороны
которого проходят через точки B и D, а вершины лежат на дуге
построенной окружности, не содержащей вершины A, равна 180°-?A,
а значит, равна градусной мере угла C данного четырехугольника;
11) Следовательно, точка C как вершина угла, стороны которого
проходят через данные точки B и D, принадлежит геометрическому
месту вершин таких углов с той же градусной мерой и поэтому лежит
на окружности, описанной около треугольника ABD, значит признак
вписанного четырехугольника доказан.

Пусть четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность.

Тогда его противоположные углы являются вписанными углами, опирающимися на дополнительные дуги. Поэтому

$$\angle A+\angle C=\frac{1}{2}\cdot 360^\circ=180^\circ.$$

Аналогично

$$\angle B+\angle D=180^\circ.$$

Значит, у вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$.

Докажем обратное. Пусть в выпуклом четырёхугольнике $$ABCD$$ выполнено

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

Опишем окружность около треугольника $$ABD$$. Тогда точка $$C$$ должна лежать на этой окружности, если

$$\angle ACD=\angle ABD.$$

Но из условия

$$\angle C=180^\circ-\angle A.$$

С другой стороны, для окружности, описанной около $$ABD$$, вписанный угол, опирающийся на хорду $$BD$$, равен

$$180^\circ-\angle A.$$

Следовательно, $$\angle ACD$$ равен соответствующему вписанному углу, значит точка $$C$$ лежит на окружности, описанной около треугольника $$ABD$$. Тогда и четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность.

Итак, для четырёхугольника, вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$, и наоборот: если сумма противоположных углов четырёхугольника равна $$180^\circ$$, то около него можно описать окружность.

Ответ

У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$; и наоборот, если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$, то около него можно описать окружность.