Упр.9.13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Построить: точку C’, симметричную точке C относительно прямой AB,
используя только циркуль;
Построение:
1) Пусть даны точки A, B и C:
2) Из точки A проведем окружность радиуса AC, а из точки B проведем
окружность радиуса BC;
3) Отметим точку C’ на втором из пересечений этих окружностей;
4) Так как отрезок AB соединяет центры двух окружностей с общей
хордой CC’, то он перпендикулярен этой хорде и делит ее на две равные
части;
5) Значит, точка C’ симметрична точке C относительно прямой AB.

Подробный ответ

Проведём окружность с центром в точке $$A$$ радиуса $$AC$$ и окружность с центром в точке $$B$$ радиуса $$BC$$.

Эти окружности пересекутся в двух точках. Одну из них обозначим $$C’$$ так, чтобы точки $$C$$ и $$C’$$ лежали по разные стороны от прямой $$AB$$.

Так как $$AC=AC’$$ и $$BC=BC’$$, то точки $$C$$ и $$C’$$ равноудалены от точек $$A$$ и $$B$$. Следовательно, прямая $$AB$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$CC’$$, то есть перпендикулярна ему и делит его пополам.

Значит, точка $$C’$$ симметрична точке $$C$$ относительно прямой $$AB$$.