Упр.3.13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

От вершины $$C$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ с основанием $$AB$$ отложены равные отрезки: $$CA_1$$ на стороне $$CA$$ и $$CB_1$$ на стороне $$CB$$. Докажите равенство треугольников: 1) $$\triangle CAB_1$$ и $$\triangle CBA_1$$; 2) $$\triangle ABB_1$$ и $$\triangle BAA_1$$.

1) Рассмотрим треугольники $$CA B_1$$ и $$CB A_1$$.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$CA=CB$$ и $$\angle A=\angle B$$.

По условию $$CA_1=CB_1$$.

Следовательно, в треугольниках $$CAB_1$$ и $$CBA_1$$ равны две стороны и угол между ними, значит, эти треугольники равны по первому признаку:

$$\triangle CAB_1 \cong \triangle CBA_1.$$

2) Докажем равенство треугольников $$ABB_1$$ и $$BAA_1$$.

Из равнобедренности $$\triangle ABC$$ имеем $$CA=CB$$. Тогда

$$CA=CA_1+A_1A,\qquad CB=CB_1+B_1B.$$

Так как $$CA=CB$$ и $$CA_1=CB_1$$, то

$$A_1A=B_1B.$$

Теперь в треугольниках $$ABB_1$$ и $$BAA_1$$:

$$AB=BA$$ — общая сторона,

$$BB_1=AA_1,$$

а также $$\angle ABB_1=\angle BAA_1$$ как углы при основании равнобедренного треугольника $$ABC$$.

Следовательно, $$\triangle ABB_1 \cong \triangle BAA_1$$ по первому признаку.