Вопрос 13 Параграф 8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

При каком условии прямая и окружность не пересекаются, пересекаются в двух точках, касаются?

Пусть $$R$$ — радиус окружности, а $$d$$ — расстояние от её центра до прямой.

Тогда возможны три случая:

• если $$d<R$$, то прямая пересекает окружность в двух точках;
• если $$d=R$$, то прямая касается окружности;
• если $$d>R$$, то прямая и окружность не пересекаются.

Это следует из того, что при выборе системы координат с центром окружности в начале координат и прямой $$x=d$$ уравнение окружности имеет вид $$x^2+y^2=R^2$$. Подстановка $$x=d$$ даёт

$$y=\pm\sqrt{R^2-d^2}.$$

Отсюда видно: при $$R>d$$ получаются две точки пересечения, при $$R=d$$ — одна точка, а при $$R<d$$ действительных решений нет.