Упр.7.13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

В равностороннем треугольнике со стороной $$a$$ найдите высоту.

Пусть $$ABC$$ — равносторонний треугольник со стороной $$a$$. Проведём к основанию $$AC$$ высоту $$BD$$.

В равностороннем треугольнике высота является также медианой, значит

$$AD=DC=\frac{a}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADB$$. По теореме Пифагора:

$$AB^2=AD^2+BD^2.$$

Так как $$AB=a$$, получаем

$$a^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+BD^2,$$

откуда

$$BD^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}.$$

Следовательно,

$$BD=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ: $$\frac{a\sqrt{3}}{2}$$.