Упр.7.12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Могут ли увидеть друг друга космонавты, летящие над поверхностью Земли на высоте $$230\ \text{км}$$, если расстояние между ними по прямой равно $$2200\ \text{км}$$? Радиус Земли равен $$6370\ \text{км}$$.

Пусть $$O$$ — центр Земли, а $$A$$ и $$B$$ — космонавты. Тогда

$$OA=OB=6370+230=6600\text{ км}.$$

Так как $$OA=OB$$, треугольник $$OAB$$ равнобедренный. Проведём из точки $$O$$ к основанию $$AB$$ высоту $$OD$$. В равнобедренном треугольнике она является и медианой, значит

$$AD=DB=\frac{AB}{2}=\frac{2200}{2}=1100\text{ км}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOD$$ по теореме Пифагора:

$$OA^2=OD^2+AD^2,$$

$$OD^2=6600^2-1100^2=43\,560\,000-1\,210\,000=42\,350\,000,$$

$$OD\approx 6500\text{ км}.$$

Расстояние от центра Земли до прямой $$AB$$ больше радиуса Земли:

$$OD>6370\text{ км}.$$

Значит, прямая, соединяющая космонавтов, не пересекает Землю, и они могут видеть друг друга.

Ответ: могут.