Упр.2.12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: сумма трех углов при пересекающихся прямых равна 270°;
Найти: градусную меру всех углов;
Решение:
1) Пусть a и b-данные пересекающиеся прямые;
2) Разобьем их точкой пересечения на полупрямые a1, a2, b1 и b2;
3) По условию: угол (a1 b2)+ угол (a2 b1)+ угол (a2 b2)=270°;
4) Сумма смежных углов равна 180°, значит:
угол (a1 b2)=180°- угол (a1 b1) и угол (a2 b1)=180°- угол (a2 b2);
5) Вертикальные углы равны, значит:
угол (a2 b2) = углу (a1 b1);
угол (a2 b1) = углу (a1 b2)=180°- угол (a1 b1);
6) Найдем эти углы:
(180°- угол (a1 b1))+(180°- угол (a1 b1))+ угол (a1 b1)=270°;
— угол (a1 b1)=-90°, отсюда угол (a1 b1)=90°;
угол (a2 b2) = углу (a1 b1)=90°;
угол (a2 b1) = углу (a1 b2)=180°-90°=90°;
Ответ: все углы по 90°.

Подробный ответ

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Обозначим один из них через $$x$$, тогда смежный с ним угол равен $$180^\circ-x$$, а вертикальный — тоже $$x$$.

По условию сумма трёх углов равна $$270^\circ$$. Значит, можно составить уравнение:

$$x+(180^\circ-x)+x=270^\circ.$$

Упростим:

$$x+180^\circ-x+x=270^\circ,$$

$$180^\circ+x=270^\circ,$$

$$x=90^\circ.$$

Тогда смежный с ним угол равен

$$180^\circ-90^\circ=90^\circ.$$

Следовательно, все четыре угла равны $$90^\circ$$.