Упр.10.12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 12. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке М. Выразите векторы АВ и CD через векторы а = AM, b = ВМ (рис. 230).

По правилу треугольника для точек $$A, B, M$$ имеем:

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}.$$

Так как $$\vec a=\overrightarrow{AM}$$ и $$\vec b=\overrightarrow{BM}$$, то

$$\vec a=\overrightarrow{AB}+\vec b,$$

откуда

$$\overrightarrow{AB}=\vec a-\vec b.$$

Теперь рассмотрим векторы $$\overrightarrow{BA}$$ и $$\overrightarrow{AM}$$:

$$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BM}.$$

Подставляя $$\vec a$$ и $$\vec b$$, получаем

$$\overrightarrow{BA}+\vec a=\vec b,$$

значит,

$$\overrightarrow{BA}=\vec b-\vec a.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны и сонаправлены, поэтому

$$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{CD}=\vec b-\vec a.$$

Ответ

$$\overrightarrow{AB}=\vec a-\vec b,\qquad \overrightarrow{CD}=\vec b-\vec a.$$