Упр.15.12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Через вершину $$A$$ прямоугольника $$ABCD$$ проведена прямая $$AK$$, перпендикулярная его плоскости. Расстояния от точки $$K$$ до других вершин прямоугольника равны 6 м, 7 м и 9 м. Найдите отрезок $$AK$$.

Подробный ответ

Обозначим $$AB=CD=a,$$ $$BC=AD=b,$$ $$AK=x.$$

Так как $$AK \perp (ABCD),$$ то треугольники $$ABK,$$ $$ACK$$ и $$ADK$$ прямоугольные при $$A.$$ Тогда по теореме Пифагора:

$$BK^2=AB^2+AK^2 \Rightarrow 7^2=a^2+x^2,$$

$$DK^2=AD^2+AK^2 \Rightarrow 6^2=b^2+x^2,$$

$$CK^2=AC^2+AK^2 \Rightarrow 9^2=AC^2+x^2.$$

В прямоугольнике $$ABCD$$ диагональ $$AC$$ находится по теореме Пифагора:

$$AC^2=AB^2+BC^2=a^2+b^2.$$

Подставим это в третье равенство:

$$9^2=a^2+b^2+x^2.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} a^2+x^2=49,\\ b^2+x^2=36,\\ a^2+b^2+x^2=81. \end{cases}$$

Сложим первые два уравнения:

$$a^2+b^2+2x^2=85.$$