Упр.14.12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найдите площадь ромба, если его высота 12 см, а меньшая диагональ 13 см.

Пусть $$ABCD$$ — данный ромб, причём меньшая диагональ $$BD=13\text{ см}$$. Из вершины $$B$$ опустим высоту $$BH$$ на сторону $$AD$$, тогда $$BH=12\text{ см}$$.

Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей ромба. Тогда диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, значит

$$OD=\frac{BD}{2}=\frac{13}{2}=6{,}5\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BHD$$:

$$HD=\sqrt{BD^2-BH^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5\text{ см}.$$

Треугольники $$BHD$$ и $$AOD$$ подобны по двум углам: оба прямоугольные и имеют общий острый угол при $$D$$. Поэтому

$$\frac{AD}{BD}=\frac{OD}{HD}.$$

Отсюда

$$AD=\frac{BD\cdot OD}{HD}=\frac{13\cdot 6{,}5}{5}=16{,}9\text{ см}.$$

Теперь найдём площадь ромба:

$$S=AD\cdot BH=16{,}9\cdot 12=202{,}8\text{ см}^2.$$

Ответ: $$202{,}8\text{ см}^2$$.