Вопрос 12 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Как построить правильный выпуклый шестиугольник, треугольник, четырёхугольник, восьмиугольник?
Для построения правильного многоугольника, вписанного в окружность, достаточно построить его центральный угол.
Ход решения
1. Правильный шестиугольник. У правильного шестиугольника центральный угол равен $$\frac{360^\circ}{6}=60^\circ.$$
Поэтому радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника. Берём на окружности произвольную точку $$A_1$$, затем, не изменяя раствора циркуля, последовательно откладываем на окружности ещё пять равных хорд и получаем точки $$A_2, A_3, A_4, A_5, A_6.$$ Соединяем соседние вершины:
$$A_1A_2A_3A_4A_5A_6$$ — правильный шестиугольник.
2. Правильный треугольник. Построим правильный вписанный шестиугольник и соединим его вершины через одну. Тогда получим:
$$A_1A_3A_5$$ — правильный треугольник.
3. Правильный четырёхугольник (квадрат). У квадрата центральный угол равен $$\frac{360^\circ}{4}=90^\circ.$$ Значит, его диагонали перпендикулярны.
Построим диаметр окружности $$AC$$ и через центр $$O$$ проведём к нему перпендикуляр. Он пересечёт окружность в точках $$B$$ и $$D.$$ Соединим точки $$A, B, C, D$$ последовательно:
$$ABCD$$ — квадрат.
4. Правильный восьмиугольник. Построим правильный вписанный четырёхугольник $$A_1A_3A_5A_7.$$ Затем для сторон $$A_1A_3$$ и $$A_3A_5$$ построим серединные перпендикуляры и отметим на окружности точки $$A_2, A_4, A_6, A_8.$$ После этого последовательно соединим все вершины:
$$A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$$ — правильный восьмиугольник.
