Вопрос 12 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Построить: правильный выпуклый шестиугольник, треугольник,
четырехугольник, восьмиугольник;
Построение:
Для построения правильного многоугольника, вписанного в окружность,
достаточно построить его центральный угол;
I) Построим правильный шестиугольник:
1) У правильного шестиугольника центральный угол равен (360°)/6=60°,
значит радиус описанной окружности равен его стороне;
2) Возьмем на окружности произвольную точку A1, из нее как из центра
радиусом, равным радиусу окружности, делаем засечку и получаем
вершину A2;
3) Затем аналогично построим остальные вершины A3, A4, A5, A6 и
последовательно соединим их отрезками:
4) A1 A2 A3 A4 A5 A6-правильный шестиугольник:
II) Построим правильный треугольник:
1) Построим правильный вписанный шестиугольник;
2) Соединим отрезками его вершины через одну;
3) A1 A3 A5-правильный треугольник:
III) Построим правильный четырехугольник (квадрат):
1) У квадрата центральный угол равен (360°)/4=90°, значит его диагонали
перпендикулярны;
2) Построим диаметр окружности AC и через центр O окружности
проведем перпендикулярную ему прямую, которая пересечет окружность
в точках B и D;
3) Последовательно соединим точки A, B, C и D отрезками;
4) ABCD-квадрат.
IV) Построим правильный восьмиугольник:
1) Построим правильный вписанный четырехугольник A1 A3 A5 A7;
2) Для сторон A1 A3 и A3 A5 построим серединные перпендикуляры и
отметим точки A2, A4, A6 и A8 на пересечениях этих перпендикуляров
с окружностью;
3) Последовательно соединим точки A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8 отрезками;
4) A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8-правильный восьмиугольник
Для построения правильного многоугольника, вписанного в окружность, достаточно отложить на окружности равные дуги, то есть построить соответствующий центральный угол.
I. Правильный шестиугольник. У правильного шестиугольника центральный угол равен
$$\frac{360^\circ}{6}=60^\circ.$$
Значит, сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности. Берём на окружности произвольную точку $$A_1$$ и, не меняя раствора циркуля, последовательно откладываем на окружности ещё пять равных отрезков, получая точки $$A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$$. Соединив их по порядку, получаем правильный шестиугольник $$A_1A_2A_3A_4A_5A_6$$.
II. Правильный треугольник. Построим правильный вписанный шестиугольник и соединим его вершины через одну. Тогда получим треугольник $$A_1A_3A_5$$, который является правильным.
III. Правильный четырёхугольник (квадрат). У квадрата центральный угол равен
$$\frac{360^\circ}{4}=90^\circ.$$
Построим диаметр окружности $$AC$$ и через центр $$O$$ проведём к нему перпендикуляр. Он пересечёт окружность в точках $$B$$ и $$D$$. Соединим точки $$A, B, C, D$$ последовательно. Получим квадрат $$ABCD$$.
IV. Правильный восьмиугольник. Сначала построим правильный вписанный четырёхугольник $$A_1A_3A_5A_7$$. Затем для сторон $$A_1A_3$$ и $$A_3A_5$$ построим серединные перпендикуляры и отметим на окружности точки $$A_2, A_4, A_6, A_8$$. Соединив последовательно точки $$A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8$$, получим правильный восьмиугольник.
Ответ
Правильный шестиугольник строят, откладывая на окружности хорды, равные радиусу; правильный треугольник — соединением через одну вершин правильного шестиугольника; квадрат — по двум взаимно перпендикулярным диаметрам; правильный восьмиугольник — из правильного четырёхугольника, деля соответствующие дуги пополам.
