Вопрос 12 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Пусть $$CD$$ — биссектриса угла $$C$$ треугольника $$ABC$$, а точка $$D$$ лежит на стороне $$AB$$.

Рассмотрим два случая.

1. Если треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AB$$, то $$AC=BC$$. Биссектриса из вершины равнобедренного треугольника является также медианой, значит $$AD=DB$$. Тогда

   $$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{BD}.$$

2. Пусть теперь $$AC\ne BC$$. Опустим перпендикуляры $$AF$$ и $$BE$$ из точек $$A$$ и $$B$$ на прямую $$CD$$.

   Треугольники $$ACF$$ и $$BCE$$ прямоугольные, и у них равны острые углы при вершине $$C$$, поэтому они подобны. Отсюда

   $$\frac{AC}{BC}=\frac{AF}{BE}.$$

   Треугольники $$ADF$$ и $$BDE$$ также прямоугольные, а углы при вершине $$D$$ равны как вертикальные. Значит, эти треугольники подобны, и потому

   $$\frac{AF}{BE}=\frac{AD}{BD}.$$

   Следовательно,

   $$\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BD}.$$

   Перемножая крест-накрест, получаем

   $$AC\cdot BD=BC\cdot AD,$$

   откуда

   $$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}.$$

Итак, биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.