Упр.10.12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В параллелограмме $$ABCD$$ диагонали пересекаются в точке $$M$$. Выразите векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$ через векторы $$\vec a=\overrightarrow{AM}$$, $$\vec b=\overrightarrow{BM}$$ (рис. 230).

По правилу треугольника для векторов имеем:

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$$

Так как $$\overrightarrow{AM}=\vec a$$, а $$\overrightarrow{BM}=\vec b$$, то

$$\vec a=\overrightarrow{AB}+\vec b,$$

откуда

$$\overrightarrow{AB}=\vec a-\vec b.$$

Теперь рассмотрим вектор $$\overrightarrow{BA}$$:

$$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BM}$$

то есть

$$\overrightarrow{BA}+\vec a=\vec b,$$

следовательно,

$$\overrightarrow{BA}=\vec b-\vec a.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны и сонаправлены, значит

$$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}=\vec b-\vec a.$$

Ответ: $$\overrightarrow{AB}=\vec a-\vec b,\quad \overrightarrow{CD}=\vec b-\vec a.$$