Вопрос 12 Параграф 10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что для любых трёх векторов $$\mathbf{a}$$, $$\mathbf{b}$$, $$\mathbf{c}$$ выполняется равенство $$\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c})=(\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}$$.

Пусть $$\vec a=(a_1,a_2),\quad \vec b=(b_1,b_2),\quad \vec c=(c_1,c_2).$$

Тогда

$$\vec b+\vec c=(b_1+c_1,\; b_2+c_2),$$
$$\vec a+(\vec b+\vec c)=\bigl(a_1+b_1+c_1,\; a_2+b_2+c_2\bigr).$$

С другой стороны,

$$\vec a+\vec b=(a_1+b_1,\; a_2+b_2),$$
$$(\vec a+\vec b)+\vec c=\bigl(a_1+b_1+c_1,\; a_2+b_2+c_2\bigr).$$

Координаты получившихся векторов совпадают, значит, равны и сами векторы. Следовательно,

$$\vec a+(\vec b+\vec c)=(\vec a+\vec b)+\vec c.$$

Ответ

$$\vec a+(\vec b+\vec c)=(\vec a+\vec b)+\vec c.$$