Упр.9.12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Даны точки А, В, С. Постройте точку С’, симметричную точке С относительно прямой АВ.

Пусть даны точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$.

1. Из точки $$C$$ проведём окружность произвольного радиуса и отметим точки $$E$$ и $$F$$ — точки её пересечения с прямой $$AB$$.
2. Из точек $$E$$ и $$F$$ проведём окружности радиуса $$EC$$.
3. Обозначим через $$C’$$ вторую точку пересечения этих окружностей.
4. Пусть $$O$$ — точка пересечения прямых $$CC’$$ и $$AB$$.

Так как $$CE=CF$$ и $$EC’=FC’$$, то точки $$C$$ и $$C’$$ равноудалены от $$E$$ и $$F$$. Следовательно, прямая $$CC’$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$EF$$, а значит, $$CC’ \perp AB$$.

Кроме того, точка $$O$$ лежит на прямой $$AB$$ и на прямой $$CC’$$, поэтому $$O$$ — середина отрезка $$CC’$$, то есть $$CO=OC’$$.

Итак, прямая $$AB$$ перпендикулярна отрезку $$CC’$$ и проходит через его середину. Значит, точка $$C’$$ симметрична точке $$C$$ относительно прямой $$AB$$.