Упр.7.12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: два космонавта летят на высоте 230 км над поверхностью Земли
на расстоянии 2200 км друг от друга; радиус Земли 6370 км;
Выяснить: могут ли космонавты видеть друг друга;
Решение:
1) Представим Землю как окружность с центром в точке O и радиусом
равным 640 км, а космонавтов как точки A и B вне этой окружности;
2) Пусть A1 и B1-точки пересечения отрезков OA и OB с этой
окружностью, тогда: OA1=OB1 (как радиусы) и AA1=BB1=230 км;
OB=OA=OA1+A1 A=6370+230=6600 км;
3) В равнобедренном треугольнике OAB проведем высоту и медиану OD,
тогда OD перпендикулярен AB и AD=1/2 AB=1/2•2200=1100 км;
4) По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AOD:
AO^2=AD^2+OD^2 = > 6600^2=1100^2+OD^2;
OD^2=43 560 000-1 210 000=42 350 000, отсюда OD=6500 км;
5) Так как растояние от прямой AB, проведенной между космонавтами,
до центра окружности (6500 км) больше, чем радиус (6370 км) этой
окружности, то они могут видеть друг друга;
Ответ: могут.

Рассмотрим Землю как окружность с центром $$O$$ и радиусом

$$R=6370\text{ км}.$$

Космонавты находятся на высоте $$230\text{ км}$$ над поверхностью Земли, значит расстояние от центра Земли до каждого из них равно

$$OA=OB=6370+230=6600\text{ км}.$$

Пусть $$D$$ — середина отрезка $$AB$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$OAB$$ отрезок $$OD$$ является и высотой, и медианой, поэтому

$$OD\perp AB,\qquad AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot 2200=1100\text{ км}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOD$$ по теореме Пифагора:

$$ AO^2=AD^2+OD^2 $$

$$ 6600^2=1100^2+OD^2 $$

$$ OD^2=6600^2-1100^2=43\,560\,000-1\,210\,000=42\,350\,000. $$

Следовательно,

$$OD\approx 6500\text{ км}.$$

Так как расстояние от центра Земли до прямой $$AB$$ больше радиуса Земли:

$$OD>R,$$

то прямая $$AB$$ не пересекает Землю, и космонавты могут видеть друг друга.

Ответ

Да, могут.