Упр.5.12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: окружности с радиусами 25 см и 50 см; расстояние между
центрами окружностей 60 см;
Выяснить: могут ли окружности касаться;
Решение:
1) Пусть a-общая касательная к этим окружностям и A-точка
касания;
2) По свойству касательной a перпендикулярен AO1 и a перпендикулярен AO2, значит прямые, на
которых лежат отрезки AO1 и AO2 параллельны, но они имеют общую
точку A, значит они совпадают;
3) Отрезки O1 A и AO2 лежат на одной прямой, значит искомое растояние
равно длине отрезка O1 O2;
4) В случае внешнего касания окружностей:
O1 O2=O1 A+AO2=25+50=75 см?60 см;
5) В случае внутреннего касания окружностей:
O1 O2=|O1 A-AO2 |=|25-50|=25 см?60 см;
6) Таким образом, ни в каком случае окружности касаться не могут;
Ответ: не могут.

Подробный ответ

При касании окружностей расстояние между их центрами равно:

при внешнем касании — сумме радиусов;
при внутреннем касании — разности радиусов по модулю.

Проверим оба случая:

$$r_1+r_2=25+50=75\text{ см}$$
$$|r_2-r_1|=|50-25|=25\text{ см}$$

По условию расстояние между центрами равно $$60\text{ см}$$. Оно не равно ни $$75\text{ см}$$, ни $$25\text{ см}$$, значит, ни внешнего, ни внутреннего касания быть не может.