Вопрос 11 Параграф 7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите тождества:
   
   $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$;
   
   $$1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$$;
   
   $$1+\cot^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$ с прямым углом при $$C$$ и углом $$\angle A=\alpha$$.

По теореме Пифагора:

$$BC^2+AC^2=AB^2.$$

Разделим обе части равенства на $$AB^2$$:

$$\left(\frac{BC}{AB}\right)^2+\left(\frac{AC}{AB}\right)^2=1.$$

По определениям тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:

$$\frac{BC}{AB}=\sin \alpha,\qquad \frac{AC}{AB}=\cos \alpha.$$

Тогда получаем:

$$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1.$$

Теперь разделим это тождество на $$\cos^2 \alpha$$:

$$\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}+1=\frac{1}{\cos^2 \alpha}.$$

Так как $$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$, то

$$1+\tg^2 \alpha=\frac{1}{\cos^2 \alpha}.$$

Аналогично, разделим тождество $$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1$$ на $$\sin^2 \alpha$$:

$$1+\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}=\frac{1}{\sin^2 \alpha}.$$

Так как $$\ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$, то

$$1+\ctg^2 \alpha=\frac{1}{\sin^2 \alpha}.$$

Все тождества доказаны.