Упр.12.11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: треугольник ABC;
Выяснить: как изменяется сторона AB, если угол C возрастает, а длины
сторон AC и BC не меняются;
Решение:
1) Пусть a1 и a2-острые углы, при этом a1 > a2;
2) При возрастании острого угла его косинус уменьшается, значит:
cosa1 < cosa2 ; 3) Углы (180°-a1) и (180°-a2)-тупые, при этом: (180°-a1) < (180°-a2), так как a1 > a2;
4) (180°-a1)=-cosa1 и (180°-a2)=-cosa2 , значит:
cos(180°-a1) > cos(180°-a2), так как cosa1 < cosa2 ; То есть при возрастании тупого угла, его косинус уменьшается, но так как он имеет отрицательный знак, то модуль косинуса увеличивается; 5) По теореме косинусов: AB^2=BC^2+AC^2-2BC•AC•cos угла C; 6) Длины сторон BC и AC не меняются, поэтому выразим через константы: m=BC^2+AC^2 и n=2BC•AC, при этом m > 0 и n > 0;
7) Тогда: AB^2=m-n•cos угла C;
8) Пусть a1 и a2- значения угла C, при этом a1 > a2;
9) Если оба угла острые, тогда cosa1 < cosa2 , при этом оба косинуса положительные, значит: m-n•cosa1 > m-n•cosa2 ;
10) Если оба угла тупые, тогда cosa1 < cosa2 , при этом оба косинуса отрицательные, значит: m-n•cosa1 > m-n•cosa2 ;
11) Если угол a1 тупой, а угол a2 острый, тогда cosa1 -отрицательный,
а cosa2 -положительный, значит:
m-n•cosa1 > m-n•cosa2 ;
12) Таким образом, во всех случаях сторона AB будет увеличиваться;
Ответ: сторона AB увеличивается.

Подробный ответ

По теореме косинусов для треугольника $$ABC$$ имеем:

$$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \angle C.$$

Так как длины $$AC$$ и $$BC$$ не меняются, то величины

$$m=AC^2+BC^2,\qquad n=2\cdot AC\cdot BC$$

— постоянные, причём $$m>0$$, $$n>0$$. Тогда

$$AB^2=m-n\cos \angle C.$$

При возрастании угла $$C$$ значение $$\cos \angle C$$ уменьшается. Следовательно, выражение $$m-n\cos \angle C$$ увеличивается, а значит, увеличивается и $$AB^2$$. Поскольку $$AB>0$$, то увеличивается и сама сторона $$AB$$.