Вопрос 11 Параграф 3 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.

Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник с основанием $$AB$$, а $$CD$$ — медиана, проведённая к основанию. Тогда $$AC=BC$$, $$AD=DB$$.

Рассмотрим треугольники $$CAD$$ и $$CBD$$. В них:

• $$AC=BC$$;
• $$AD=DB$$;
• $$CD$$ — общая сторона.

Следовательно, $$\triangle CAD \cong \triangle CBD$$ по трём сторонам.

Отсюда равны соответствующие углы:

$$\angle ACD=\angle BCD,$$

значит, $$CD$$ — биссектриса угла $$C$$.

Кроме того,

$$\angle ADC=\angle BDC.$$

Но углы $$ADC$$ и $$BDC$$ смежные, поэтому их сумма равна $$180^\circ$$. Равные смежные углы могут быть только прямыми, значит,

$$\angle ADC=\angle BDC=90^\circ.$$

Следовательно, $$CD \perp AB$$, то есть $$CD$$ — высота треугольника.

Итак, медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является и биссектрисой, и высотой.