Упр.15.11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Через центр описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершин треугольника.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, а $$O$$ — центр описанной около него окружности. Тогда

$$AO=BO=CO=R.$$

Возьмём произвольную точку $$X$$ на прямой, проходящей через $$O$$ и перпендикулярной плоскости треугольника $$ABC$$. Тогда по определению прямой, перпендикулярной плоскости, имеем

$$XO\perp AO,\quad XO\perp BO,\quad XO\perp CO.$$

Следовательно, треугольники $$AOX$$, $$BOX$$ и $$COX$$ прямоугольные. У них

$$AO=BO=CO,\qquad XO$$ — общая сторона.

Значит, эти прямоугольные треугольники равны по двум катетам. Поэтому их гипотенузы равны:

$$AX=BX=CX.$$

Итак, каждая точка данной прямой равноудалена от вершин треугольника.