Вопрос 11 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: диагонали прямоугольника равны;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный прямоугольник;
2) Так как прямоугольник является параллелограммом, то согласно
теореме 6.3 его противлежащие стороны равны: AB=CD;
3) Проведем диагонали прямоугольника AC и BD;
4) Прямоугольные треугольники BAD и CDA равны по двум катетам,
отсюда следует равенство их гипотенуз AC=BD, что и требовалось
Доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный прямоугольник. Проведём его диагонали $$AC$$ и $$BD$$.

Так как прямоугольник является параллелограммом, то его противоположные стороны равны:

$$AB=CD,$$

а также $$AD$$ — общая сторона треугольников $$BAD$$ и $$CDA$$.

Кроме того, углы $$\angle BAD$$ и $$\angle CDA$$ прямые, значит, треугольники $$BAD$$ и $$CDA$$ — прямоугольные.

Следовательно, прямоугольные треугольники $$BAD$$ и $$CDA$$ равны по двум катетам:

$$AB=CD,\quad AD=AD.$$

Тогда равны и их гипотенузы:

$$BD=AC.$$

Значит, диагонали прямоугольника равны.