Вопрос 11 Параграф 14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Выведите формулу площади круга.

Пусть $$O$$ — центр круга, $$R$$ — его радиус.

Построим два правильных $$n$$-угольника: один вписан в круг, другой описан около круга. При достаточно большом $$n$$ их площади сколь угодно мало отличаются от площади круга.

Обозначим через $$p$$ периметр вписанного правильного $$n$$-угольника. Тогда его площадь равна сумме площадей $$n$$ равных треугольников с основанием, равным стороне многоугольника, и высотой, равной апофеме. Если половину центрального угла обозначить через $$a$$, то

$$S_{\text{вп}}=n\cdot S_{AOD}$$
$$S_{AOD}=\frac12\cdot AD\cdot OC=AC\cdot OC=AC\cdot AO\cdot \cos a$$
$$S_{\text{вп}}=n\cdot AC\cdot AO\cdot \cos a=\frac{pR}{2}\cos a.$$

Аналогично для описанного правильного $$n$$-угольника:

$$S_{\text{оп}}=n\cdot S_{BOP}$$
$$S_{BOP}=\frac12\cdot FB\cdot AO=AB\cdot AO=\frac{AC}{\cos a}\cdot AO$$
$$S_{\text{оп}}=\frac{pR}{2\cos a}.$$

При увеличении числа сторон $$n$$ периметр $$p$$ вписанного и описанного многоугольников стремится к длине окружности $$l=2\pi R$$, а угол $$a$$ стремится к нулю, поэтому $$\cos a\to 1$$. Следовательно, площади обоих многоугольников стремятся к площади круга:

$$S=\frac{lR}{2}=\frac{2\pi R\cdot R}{2}=\pi R^2.$$

Ответ: $$S=\pi R^2$$.