Упр.13.11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что у четырёхугольника, описанного около окружности, суммы длин противолежащих сторон равны.
Пусть стороны четырёхугольника $$ABCD$$ касаются окружности с центром $$O$$ в точках $$K, L, M, N$$ соответственно.
Так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу, то
$$AB\perp OK,\quad BC\perp OL,\quad CD\perp OM,\quad DA\perp ON.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AKO$$ и $$ANO$$. У них:
$$AO$$ — общая гипотенуза,
$$OK=ON$$ — радиусы одной и той же окружности.
Следовательно, $$\triangle AKO \cong \triangle ANO$$ по гипотенузе и катету, откуда
$$AK=AN.$$
Аналогично:
$$\triangle BKO \cong \triangle BLO,\quad \triangle CMO \cong \triangle CLO,\quad \triangle DMO \cong \triangle DNO,$$
поэтому
$$BK=BL,\quad CL=CM,\quad DM=DN.$$
Теперь сложим равные отрезки на сторонах четырёхугольника:
$$AB=AK+KB,\quad BC=BL+LC,\quad CD=CM+MD,\quad DA=DN+NA.$$
Тогда
$$AB+CD=(AK+KB)+(CM+MD)$$
$$=(AN+ND)+(BL+LC)=AD+BC.$$
Итак, у четырёхугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны:
$$AB+CD=BC+AD.$$
