Вопрос 11 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей для правильного треугольника, четырёхугольника (квадрата), шестиугольника.

Для правильного n-угольника со стороной $$a$$, вписанного в окружность радиуса $$R$$, и с вписанной окружностью радиуса $$r$$ имеем:

$$R=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}, \qquad r=\frac{a}{2\tan\frac{180^\circ}{n}}.$$

Применим эти формулы к каждому случаю.

1. Для правильного треугольника $$n=3$$, поэтому $$\frac{180^\circ}{3}=60^\circ$$.

   $$R=\frac{a}{2\sin 60^\circ}=\frac{a}{\sqrt{3}}, \qquad r=\frac{a}{2\tan 60^\circ}=\frac{a}{2\sqrt{3}}.$$

2. Для правильного четырёхугольника $$n=4$$, поэтому $$\frac{180^\circ}{4}=45^\circ$$.

   $$R=\frac{a}{2\sin 45^\circ}=\frac{a}{\sqrt{2}}, \qquad r=\frac{a}{2\tan 45^\circ}=\frac{a}{2}.$$

3. Для правильного шестиугольника $$n=6$$, поэтому $$\frac{180^\circ}{6}=30^\circ$$.

   $$R=\frac{a}{2\sin 30^\circ}=a, \qquad r=\frac{a}{2\tan 30^\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ: для правильного треугольника $$R=\frac{a}{\sqrt{3}},\ r=\frac{a}{2\sqrt{3}}$$; для квадрата $$R=\frac{a}{\sqrt{2}},\ r=\frac{a}{2}$$; для правильного шестиугольника $$R=a,\ r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$.