Вопрос 11 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

Пусть $$ABC$$ — прямоугольный треугольник, $$\angle C=90^\circ$$. Проведём высоту $$CD$$ к гипотенузе $$AB$$.

Тогда $$AD$$ и $$DB$$ — проекции катетов $$AC$$ и $$BC$$ на гипотенузу $$AB$$.

Рассмотрим треугольники $$ACD$$ и $$CBD$$. У них:

• $$\angle ADC=\angle CDB=90^\circ$$;
• $$\angle ACD=\angle CBD$$, так как оба угла дополняют до $$90^\circ$$ угол $$\angle A$$ и угол $$\angle B$$ соответственно.

Следовательно, $$\triangle ACD \sim \triangle CBD$$.

Из подобия получаем пропорцию:

$$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{DB}$$

Отсюда

$$CD^2=AD\cdot DB,$$

то есть

$$CD=\sqrt{AD\cdot DB}.$$

Значит, высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу, что и требовалось доказать.