Вопрос 11 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 11. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей для правильного треугольника, четырёхугольника (квадрата), шестиугольника.
Для правильного n-угольника со стороной $$a$$ радиус описанной окружности и радиус вписанной окружности выражаются формулами:
$$R=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}, \qquad r=\frac{a}{2\tan\frac{180^\circ}{n}}.$$
1) Правильный треугольник $$n=3$$, поэтому
$$\frac{180^\circ}{3}=60^\circ.$$
Тогда
$$R=\frac{a}{2\sin 60^\circ}=\frac{a}{2\cdot \frac{\sqrt3}{2}}=\frac{a}{\sqrt3},$$
$$r=\frac{a}{2\tan 60^\circ}=\frac{a}{2\sqrt3}.$$
2) Правильный четырёхугольник (квадрат) $$n=4$$, поэтому
$$\frac{180^\circ}{4}=45^\circ.$$
Тогда
$$R=\frac{a}{2\sin 45^\circ}=\frac{a}{2\cdot \frac{\sqrt2}{2}}=\frac{a}{\sqrt2},$$
$$r=\frac{a}{2\tan 45^\circ}=\frac{a}{2}.$$
3) Правильный шестиугольник $$n=6$$, поэтому
$$\frac{180^\circ}{6}=30^\circ.$$
Тогда
$$R=\frac{a}{2\sin 30^\circ}=\frac{a}{2\cdot \frac12}=a,$$
$$r=\frac{a}{2\tan 30^\circ}=\frac{a}{2\cdot \frac{1}{\sqrt3}}=\frac{a\sqrt3}{2}.$$
Ответ
Правильный треугольник: $$R=\frac{a}{\sqrt3}, \quad r=\frac{a}{2\sqrt3}.$$
Квадрат: $$R=\frac{a}{\sqrt2}, \quad r=\frac{a}{2}.$$
Правильный шестиугольник: $$R=a, \quad r=\frac{a\sqrt3}{2}.$$
