Вопрос 11 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины
прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов
на гипотенузу;
Доказательство:
1) Пусть ABC-прямоугольный треугольник, у которого угол C=90°;
2) Проведем высоту CD, тогда отрезок DB-проекция катета CB, а
отрезок DA-проекция катета CA на гипотенузу AB;
3) Треугольники ACB и CDB подобны по двум углам, отсюда:
угол DCB = углу CAB;
4) Треугольники ADC и CDB подобны по двум углам, значит:
AD/CD=CD/BD = > AD•BD=CD•CD, отсюда CD=v(AB•BD);
5) Таким образом, высота прямоугольного треугольника является
средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу,
что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — прямоугольный треугольник, $$\angle C=90^\circ$$. Проведём высоту $$CD$$ к гипотенузе $$AB$$.

Тогда $$AD$$ и $$DB$$ — проекции катетов $$CA$$ и $$CB$$ на гипотенузу $$AB$$.

Рассмотрим треугольники $$ACD$$ и $$CBD$$. У них:

$$\angle ADC=\angle CDB=90^\circ$$;
$$\angle ACD=\angle CBD$$, так как оба эти угла дополняют до $$90^\circ$$ угол при вершине $$B$$ и угол при вершине $$A$$ соответственно.

Следовательно, $$\triangle ACD \sim \triangle CBD$$ по двум углам. Из подобия получаем:

$$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{DB}$$

Отсюда

$$CD^2=AD\cdot DB$$

и значит

$$CD=\sqrt{AD\cdot DB}$$

Итак, высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу.