Упр.9.11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Что представляет собой фигура, симметричная относительно данной точки:
- отрезку;
- углу;
- треугольнику?
При центральной симметрии каждая точка фигуры переходит в точку, лежащую на той же прямой через центр симметрии и на таком же расстоянии от него, но по другую сторону. Поэтому:
Отрезок переходит в отрезок. Если точки $$A$$ и $$B$$ симметричны точкам $$A’$$ и $$B’$$ относительно точки $$O$$, то $$AO=OA’$$ и $$BO=OB’$$. Четырёхугольник $$ABA’B’$$ имеет диагонали, пересекающиеся и делящие друг друга пополам, значит это параллелограмм. Следовательно, $$AB=A’B’$$, то есть образ отрезка — отрезок, равный данному.
Угол переходит в угол. Возьмём на сторонах угла произвольные точки $$A$$ и $$B$$ и отобразим их в точки $$A’$$ и $$B’$$, а вершину $$O$$ — в точку $$O’$$. Тогда $$A’O’=AO$$, $$O’B’=OB$$ и $$A’B’=AB$$, значит треугольники $$AOB$$ и $$A’O’B’$$ равны по трём сторонам. Отсюда $$\angle A’O’B’=\angle AOB$$, то есть образ угла — угол, равный данному.
Треугольник переходит в треугольник. Если точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ симметричны точкам $$A’$$, $$B’$$ и $$C’$$ относительно точки $$O$$, то
$$A’B’=AB,\quad B’C’=BC,\quad A’C’=AC.$$
Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$A’B’C’$$ равны по трём сторонам. Значит, образ треугольника — треугольник, равный данному.
Ответ: 1) отрезок, равный данному; 2) угол, равный данному; 3) треугольник, равный данному.
