Упр.14.10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: квадрат и ромб имеют одинаковые периметры;
Найти: какая из фигур имеет большую площадь;
Решение:
1) Пусть ABCD-данный ромб и A1 B1 C1 D1-данный квадрат;
2) Так как периметры и ромба и квадрата равны, то и их стороны равны,
примем их сторону за a: AB=AD=A1 D1=a;
3) Из вершины B на сторону AD опустим высоту BH ромба;
4) В прямоугольном треугольникк AHB:
Сторона BH является катетом, а сторона AB-гипотензой, значит
BH < AB, то есть BH < a; 5) Найдем отношение площадей этих фигур: SABCD/S(A1 B1 C1 D1 ) =(AD•BH)/(A1 D1^2 )=(a•BH)/a^2 =BH/a; 6) Так как BH < a, то площадь ромба меньше, чем площадь квадрата; Ответ: квадрат.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — ромб, а $$A_1B_1C_1D_1$$ — квадрат. Так как периметры фигур равны, то равны и их стороны. Обозначим эту сторону через $$a$$:

$$AB=AD=A_1D_1=a.$$

Опустим из вершины $$B$$ ромба высоту $$BH$$ на сторону $$AD$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$AHB$$ гипотенуза $$AB=a$$, а катет $$BH$$ меньше гипотенузы, значит

$$BH<a.$$

Найдём площади фигур:

$$S_{ABCD}=AD\cdot BH=a\cdot BH,$$

$$S_{A_1B_1C_1D_1}=a^2.$$

Тогда

$$\frac{S_{ABCD}}{S_{A_1B_1C_1D_1}}=\frac{a\cdot BH}{a^2}=\frac{BH}{a}.$$

Так как $$BH<a$$, то

$$\frac{BH}{a}<1,$$

следовательно, площадь ромба меньше площади квадрата.