Упр.13.10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: выпуклый четырехугольник, углы которого пропорциональны
числам 1,2,3 и 4;
Найти: градусную меру этих углов;
Решение:
1) Пусть ABCD-данный выпуклый четырехугольник;
2) Найдем сумму всех его внутренних углов по теореме 13.2:
угол A+ угол B+ угол C+ угол D=180°•(n-2)=180•(4-2)=360°;
3) Примем одну часть за x, тогда:
угол A=x, угол B=2x, угол C=3x и угол D=4x;
4) Подставим значения в сумму углов:
x+2x+3x+4x=360° = > 10x=360°, отсюда x=36°;
5) Найдем все углы данного четырехугольника:
угол A=36°, угол B=2•36°=72°, угол C=3•36°=108°, угол D=4•36°=144°;
Ответ: 36°,82°,108°,144°.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный выпуклый четырёхугольник. Тогда сумма его внутренних углов равна

$$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=180^\circ\cdot(4-2)=360^\circ.$$

Так как углы пропорциональны числам $$1,2,3,4$$, обозначим их через $$x, 2x, 3x, 4x$$.

Тогда

$$x+2x+3x+4x=360^\circ,$$

$$10x=360^\circ,$$

$$x=36^\circ.$$

Следовательно, углы четырёхугольника равны:

$$\angle A=36^\circ,\quad \angle B=72^\circ,\quad \angle C=108^\circ,\quad \angle D=144^\circ.$$