Упр.5.10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите углы, под которыми пересекаются прямые, касающиеся окружности в концах хорды, равной радиусу. Дано: хорда $$AB$$, равная радиусу окружности, и касательные в точках $$A$$ и $$B$$. Найти: угол между касательными.

Пусть касательные к окружности в точках $$A$$ и $$B$$ пересекаются в точке $$D$$, а $$O$$ — центр окружности.

Так как хорда $$AB$$ равна радиусу окружности, то

$$OA=OB=AB.$$

Следовательно, треугольник $$AOB$$ равносторонний, значит

$$\angle BAO=\angle ABO=60^\circ.$$

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому

$$\angle DAO=\angle DBO=90^\circ.$$

Тогда углы треугольника $$ADB$$ при основании равны:

$$\angle DAB=90^\circ-60^\circ=30^\circ,$$

$$\angle DBA=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Теперь найдём угол между касательными:

$$\angle ADB=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ.$$

Ответ: $$120^\circ$$.